这个学期其实积累了很多想写的数学话题，但是因为上学期间比较忙，只是简单地记录了 idea，没有展开来写。现在放假了，终于有时间来认真整理一下了。
这次想写的东西还挺基础的，只需要基本的点集拓扑的知识（比如开集、闭集、稠密这些东西的定义）应该就能看懂。
此外还需要补充一点测度理论。完整的测度理论相对冗长，这里我只给出接下来的讨论需要用到的部分：
定义：对于 $\mathbb{R}$ 上的集合 $E$，记 $$m^*(E) = \inf_{\left\lbrace I_k \right\rbrace} \left\lbrace \sum\limits_{k} \left\lvert I_k \right\rvert : E \subset \bigcup\limits_{k} I_k \right\rbrace$$ 其中 $\left\lbrace I_k \right\rbrace$ 为一列 $\mathbb{R}$ 上的开区间，$\left\lvert I_k \right\rvert$ 表示区间 $I_k$ 的长度（可以是 $+\infty$）。称 $m^*(E)$ 是 $E$ 的外测度。由于 $\mathbb{R}$ 也是开区间，外测度总是良定义的
从定义上可以看到，外测度是对“长度”概念的推广，作为特例，可以证明任何区间 $(a, b) / [a, b] / (a, b], [a, b)$ 的长度就是 $b - a$（但我们现在用不到，我就不费力去证了）。而下面的零测集就是“长度”为零的集合。
定义：对于 $\mathbb{R}$ 上的集合 $E$，若 $m^*(E) = 0$，则称 $E$ 是零测集。
作为最基本的例子，我们有：
例子：$\mathbb{R}$ 上的单点集都是零测的。
这一例子可以通过下面的命题进行推广
命题：$\mathbb{R}$ 中可数个零测集的并也是零测集
证明：设 $\mathbb{R}$ 上的集合 $E = \bigcup\limits_{n} E_n$，其中 $E_n$ 为零测集。对任意的 $\varepsilon \gt 0$，由零测集的定义，选取开区间列 $\left\lbrace I_{n, k} \right\rbrace_{k}$ 使得 $E_n \subset \bigcup\limits_{k}I_{n, k}$ 且 $\sum\limits_{k} \left\lvert I_{n, k} \right\rvert \lt \frac{1}{2^{-n}} \varepsilon$，此时 $E = \bigcup\limits_{n} E_n \subset \bigcup\limits_{n, k} I_{n, k}$，同时 $\sum\limits_{n, k} \left\lvert I_{n, k} \right\rvert \lt \varepsilon$，由 $\varepsilon$ 的任意性，$E$ 是零测集
结合单点集是零测的，我们得到：
推论：$\mathbb{R}$ 的可数子集都是零测的
此外，我们有下面的简单结论：
命题：零测集的子集是零测的
在某一次做实变函数作业的时候，我试图构造一列单调递减且趋向于有理数集的开集，即我希望找到一列开集 $G_n$ 使得：
一个简单的想法是，我可以为每一个有理数分配一个小区间，然后让小区间的长度逐渐缩小，这样最后剩下的就是有理数了。若记 $\mathbb{Q} = \left\lbrace r_k \right\rbrace_{k}$，定义： $$ \begin{aligned} G &= \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} G_n \\ G_n &= \bigcup\limits_{k = 1}^{\infty} (r_k - \frac{1}{n}, r_k + \frac{1}{n}) \end{aligned} $$ 但这样不 work，实际上由于有理数的稠密性，对任意的 $n$ 都有 $G_n = \mathbb{R}$，因此 $G = \mathbb{R}$。这里最主要的问题是有理数是可数的，因此是零测的，所以我们构造的 $G$ 至少也得是零测的才有可能和有理数相同，我们得限制一下每一段区间的长度之和： $$ \begin{aligned} G &= \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} G_n \\ G_n &= \bigcup\limits_{k = 1}^{\infty} (r_k - \frac{1}{n} \frac{1}{2^k}, r_k + \frac{1}{n} \frac{1}{2^k}) \end{aligned} $$ 此时的 $G$ 是一个包含 $\mathbb{Q}$ 的零测集，这说明 $G \setminus \mathbb{Q}$（作为零测集的子集）也是零测的。这和我们希望的 $\mathbb{Q} = G$ 只有一点点距离。我们能否进一步证明 $G = \mathbb{Q}$？毕竟从直觉上讲，$G$ 中应该不会包含除了有理数之外的元素了。
这个问题困扰了我很久，很长一段时间里，我既没法构造一个具体的 $G$ 中的无理数（当然，这个无理数具体是多少取决于有理数的排序），也没法证明 $G = \mathbb{Q}$。直到我在泛函分析中学习了 Baire 纲定理，才知道用开集来逼近有理数集是注定失败的。
Baire 纲定理：若 $\left\lbrace G_n \right\rbrace_{n}$ 是 $\mathbb{R}$ 上一列稠密开集，则 $\bigcap\limits_{n} G_n$ 也在 $\mathbb{R}$ 上稠密
证明：对任意的 $\mathbb{R}$ 上开区间 $(x - r, x + r)$，由于 $G_1$ 是稠密的开集，$(x - r, x + r) \cap G_1$ 是非空开集，我们可以选取 $[x_1 - r_1, x_1 + r_1] \subset (x - r, x + r) \cap G_1$，并且我们还可以要求 $r_1 \lt \frac{1}{2}r$。再考虑 $(x_1 - r_1, x_1 + r_1) \cap G_2$，它也是非空开集，所以我们可以选取 $[x_2 - r_2, x_2 + r_2] \subset (x_1 - r_1, x_1 + r_1) \cap G_2$，并且要求 $r_2 \lt \frac{1}{2} r_1$。重复此过程，我们得到了一列单减且长度趋向于 $0$ 的闭区间套 $[x_k - r_k, x_k + r_k]$，由区间套定理，存在一个 $x_0$ 属于所有这些区间，即 $x_0 \in (x - r, x + r) \cap \bigcap\limits_{n} G_n$，这说明了后者非空。由开区间选取的任意性，$\bigcap\limits_{n} G_n$ 在 $\mathbb{R}$ 上稠密
这一证明稍加修改就可以搬到一般的完备度量空间上，因此 Baire 纲定理对于后者也成立。此外，这一结论对于局部紧空间也成立，只不过在那里我们用紧集的有限交性质代替了区间套，这里就不再展开了（实际上这是某次泛函的作业题哈哈哈）
如果我们把 Baire 纲定理的结论取补，就能得到下面的显然推论：
Baire 纲定理：若 $\left\lbrace F_n \right\rbrace_{n}$ 是 $\mathbb{R}$ 上一列无内点闭集，则 $\bigcup\limits_{n} F_n$ 也没有内点
Baire 纲定理是一个比较有用的定理，也是完备性的一个较为重要的意义。在泛函分析中，Baire 纲定理能够推导出我认为最重要的几个定理之一的 Banach-Steinhaus 定理（它还有很多名字，我觉得“共鸣定理”是其中比较生动的，“一致有界原理”是比较清晰的，而“奇异性聚集原理”则从反面描述了这个定理的作用）。接下来我们将会使用 Baire 纲定理粉碎用开集逼近有理数的企图。
如果一个集合能够写成 $\mathbb{R}$ 上的可数个开集的交，则我们称之为 $G_{\delta}$ 集；对应的，如果一个集合能够写成 $\mathbb{R}$ 上可数个闭集的并，则我们称之为 $F_{\sigma}$ 集。我们在第一部分所做的尝试就是想要说明 $\mathbb{Q}$ 是一个 $G_{\delta}$ 集。然而在 Baire 纲定理的帮助下，我们实际上可以说明：
推论：若 $Q = \left\lbrace r_k \right\rbrace_k$ 是 $\mathbb{R}$ 的可数集稠密子集，则 $Q$ 不是 $G_{\delta}$ 集。特别的，$\mathbb{Q}$ 不是 $G_{\delta}$ 集
证明：我们使用反证法，假设 $Q = \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} G_n$，其中 $G_n$ 是开集。此时有 $Q \subset G_n$，因此 $G_n$ 是稠密的。另一方面，设 $Q_k = \mathbb{R} \setminus \left\lbrace r_k \right\rbrace$，则 $Q_k$ 也是稠密的开集。此时： $$\emptyset = Q \cap Q^c = \bigcap\limits_{n} G_n \cap \bigcap\limits_{k}Q_k$$ 即我们将空集写成了可数个稠密开集的交，由 Baire 纲定理，空集在 $\mathbb{R}$ 上稠密，矛盾。
因此，我们在第一部分构造的 $G$ 是严格包含 $\mathbb{Q}$ 的，即 $G$ 中至少包含一个无理数。实际上我们还有更强的结论：$G$ 中至少有不可数个无理数，否则它就是一个稠密的可数集，与上面的推论矛盾。
虽然我们证明了 $G \setminus \mathbb{Q}$ 是非空的，而且我们证明的过程也的确无可挑剔，但这个证明隐隐约约让人感到不安，因为它并不是一个构造性的证明。使用反证法来证明存在性在数学史上曾经引起了很大争议，本质上这牵扯到排中律的使用。构造主义的数学家批判希尔伯特关于零点定理的证明是“神学”，希尔伯特则反驳“不让数学家使用排中律，就像不让拳击手使用他的拳击手套！”随着数学的发展，越来越多的数学家接受了证明中排中律的使用，但依旧对此保持谨慎。
用反证法证明存在性并不总是依赖于排中律。因为很多证明使用反证只是为了叙述的方便，本质上也是能够改写成构造式的证明的。比方说使用对角线法证明无理数的存在时，我们是切实可以构造出一个无理数来的。对于这样的证明，数学家并不会多加责难。
我们的证明其实也是属于这一种情况。但是要把它改写成一个构造性的证明需要一些技巧，比方说如何在 Baire 定理的证明中避免无穷的选择，怎么从 $[x_n - r_n, x_n + r_n]$ 中确定地确认一个 $[x_{n + 1} - r_{n + 1}, x_{n + 1} + r_{n + 1}]$，这是需要一些额外的说明的，展开来讲并不简单，所以我也就略过了。
当然，构造性的证明和具体的例子还是有一定差距。比方说我们能够用对角线法则构造一个无理数，但是构造的结果将取决于有理数的排序，就算构造出来，结果也不一定是像 $\sqrt{2}$ 这样简单可爱的无理数 —— 即使我们能够知道它的每一位小数是多少，我们也不能把它简洁地表示出来；反过来，如果我们想要让对角线构造出来的结果是某个简单的无理数如 $\sqrt{2}$，排列有理数的方式同样不容易描述。
所以很遗憾，最后我也没有构造出一个具体的 $G \setminus \mathbb{Q}$ 的元素，如果有人把具体的例子（有理数的排列方式随意）构造出来了，不妨去回答一下我在 Math Exchange 上的问题吧（试图在 ME 上白嫖反例失败，于是我来这里乞讨了）
数学有时候让人挺绝望的，我们明明和我们想要的结果那么接近 —— 就差一个零测集了—— 但这一点距离却永远跨不过去，这难免让人有些意难平。
但数学也是严谨而理性的，对于一个经过数学训练的人来说，“接近”就是一个过于宽泛而无用的词。当我们仔细思考这一点，就会发现问题所在：上面所说的“接近”，是指在测度意义下的接近，即差集零测。如果我们仅仅从测度这一个角度来观察，那么这个差距确实是小的。但我们接下来将会看到，如果我们换一个观察的角度，$G \setminus \mathbb{Q}$ 其实是一个很大的集合。
衡量集合的大小有很多方法，最简单、仅仅依赖于集合本身的方法是数一数集合中元素的个数。当集合中有无限个元素的时候，则通过建立集合间的单射来比较集合的大小。由于这种方法简单粗暴，它也是最粗糙的，比如它会把 $[0, 1]$ 和 $\mathbb{R}$ 认为是一样大的，这对于我们做任何分析都是没有多大帮助的。
而测度理论则是另一个极端，它最麻烦，但也分得最细，它能够直接把集合的大小用一个具体的“数”来表示，是长度（或者更高维空间中的面积、体积）的自然推广。一旦测度理论在某个集合上被建立起来，就会非常 powerful，但难点就在于测度的建立。在一些空间上，抽象测度的建立往往是天马行空的，比方说在学习泛函分析谱分解理论的时候，那个定义在正交投影算子空间上的测度就让我觉得不可思议。
在测度出现之前，曾经有过一个折中的方案，那就是所谓的 Baire 纲。一个之前完全没有接触过这篇文章所讨论的东西的人一定会觉得“Baire 纲定理”是一个很奇怪的名字 —— Baire 毫无疑问是人名，但“纲”是什么？这里的纲（Category）就是 Baire 对集合的分类，它仅仅需要集合上的拓扑就能够对集合进行一个初步的分类。
定义：若 $\mathbb{R}$ 上的子集 $F$ 包含于一个无内点的 $F_{\sigma}$ 集中，则称 $F$ 是贫集，或者第一纲集。若 $\mathbb{R}$ 的子集 $E$ 不是第一纲集，则称之为第二纲集。若 $\mathbb{R}$ 上的子集 $E$ 的补集是贫集，则称 $E$ 为剩余集
由 Baire 纲定理，$F$ 是贫集当且仅当存在可数个无内点的闭集使得 $F$ 被包含在他们的并中。
直观上看，无内点的闭集是很稀疏的，因为它不包括任何区间，到处都是“洞”，而 Baire 定理则说明了可数个无内点的闭集的并也应当是比较稀疏的。因此，第一纲集在 Baire 的体系中就扮演了零测集的作用，是“几乎可以忽略”的；与之相反，若一个集合是剩余集，则说明它和 $\mathbb{R}$ 只差了一个“几乎可以忽略”的部分，因此它“几乎”就是 $\mathbb{R}$。
由此可见，虽然出发点和测度不同，但是 Baire 纲和测度理论所要描述的事情是差不多的，零测集和贫集之间的许多性质是一一对应的，因此与 $\mathbb{R}$ 只差一个零测集的集合和剩余集之间的许多性质也是一一对应的。比如可数个零测集的并是零测的，而可数个贫集的并也是贫集；可数个与 $\mathbb{R}$ 只差一个零测集的集合的交也和 $\mathbb{R}$ 只差一个零测集，可数个剩余集的交仍是剩余集。类似的关系还有很多，如果对此感兴趣的话可以看一看 GTM2（我是在泛函分析课上听说这本书的，最近正在读，欢迎一起讨论呀）
相比于测度理论需要建立测度，Baire 纲只需要拓扑就能开始工作，因此灵活很多。借助 Baire 纲，我们可以描述一些测度无法描述的集合的大小，比方说下面两个著名的结论（都是泛函作业哈哈哈，如果上过泛函的话可以挑战一下，不过第一个结论我把脚手架拆掉了，因此直接做很困难，原题相对简单，见许全华《泛函分析讲义》第 1 版第 6 章第 5 题）
回到我们讨论的问题上来，由于单点集是贫集，所以我们有：
命题：$\mathbb{R}$ 的任意可数子集是贫集
那么在 Baire 的体系下面，我们对有理数的近似又如何呢？注意到 $G_n$ 是一个包含 $\mathbb{Q}$ 的开集，因此是稠密的，因此它的补集 $F_n = G_n^c$ 是无内点的闭集，而 $G^c = \bigcup\limits_{n} F_n$，这说明 $G^c$ 是一个无内点的 $F_{\sigma}$ 集，即 $G$ 是剩余集。
但是我们知道有理数是贫集，因此 $G \setminus \mathbb{Q} = G \cap \mathbb{Q}^c$ 也是剩余集！这说明从 Baire 的体系来看，我们对有理数的近似还差得远。
其实 $G$ 本身就是一个很有意思的例子，它本身是剩余集，但同时又是零测的，它在 Baire 的体系中几乎是整个 $\mathbb{R}$，而在测度的体系中几乎可以被忽略。通过将 $\mathbb{R}$ 划分成 $G \cup G^c$，我们将全体实数划分成了一个零测集和一个贫集，两个在不同体系下几乎可以被忽略的集合竟然能够拼成整个实数集，不得不说这是很反直觉的。
到目前为止，我们在第一部分提出的问题已经得到了相对完整的解决，就在我觉得故事已经结束的时候，偶然间我在 GTM2 上看到了另一种使用开集近似有理数的方式，虽然它并不会影响我们在上面已经得出的结论，但这个例子非常有趣，也比我在上面举的例子更有意义（准确的说我在上面并没有举具体的例子，因为有理数的排列方式并不确定）
定义：对于实数 $x$，若存在一个整系数 $n(n \ge 1)$ 次多项式 $P$ 使得 $P(x) = 0$，则称 $x$ 是代数数，若与此同时不存在小于 $n$ 次的多项式 $Q$ 使得 $Q(x) = 0$，则称 $x$ 为 $n$ 阶代数数。若 $x$ 不是代数数，则称 $x$ 是超越数
不失一般性，在接下来的讨论中我们认为 $P$ 的首项系数是正数。
定理（Liouville）：若 $x$ 是一个 $n(n \gt 1)$ 阶代数数，则存在正整数 $M$ 使得对任意的 $p, q \in \mathbb{Z}, q \gt 0$，都有： $$\left\lvert x - \frac{p}{q} \right\rvert \gt \frac{1}{Mq^n}$$
在证明这一定理之前，我们首先看一下它意味着什么：注意到 $1$ 阶的代数数就有理数，而 Liouville 定理说明有理数之外的代数数都和有理数保持一定的“距离”。具体来说，对于固定的 $q$，$\left\lbrace \frac{p}{q}: p \in \mathbb{Z} \right\rbrace$ 是 $\mathbb{R}$ 上间距为 $\frac{1}{q}$ 的网格，Liouville 定理说明无理代数数 $x$ 应当和这一层网格保持 $\frac{1}{Mq^n}$ 的距离，当 $q$ 增加，网格变细，$x$ 和这一层网格的距离就要相应减小。
证明：由于 $M$ 是正整数，$\frac{1}{Mq^n} \lt 1$，因此我们只考虑 $\left\lvert x - \frac{p}{q} \right\rvert \le 1$ 的情况。设 $P$ 是满足 $P(x) = 0$ 的整系数 $n$ 次多项式。取正整数 $M \gt \max_{\left\lvert y - x \right\rvert \le 1} \left\lvert P'(y) \right\rvert$，由拉格朗日中值定理： $$\left\lvert P(y) \right\rvert = \left\lvert P(x) - P(y) \right\rvert \le M \left\lvert x - y \right\rvert \Rightarrow \left\lvert x - y \right\rvert \ge \frac{1}{M} \left\lvert P(y) \right\rvert$$ 现在我们考虑 $y$ 是有理数的情况。假设 $y = \frac{p}{q}$，注意到 $P$ 不可能有有理根（否则可以将 $P$ 分解为 $Q(x)(qx - p)$，而这意味着 $Q(x) = 0$，后者是一个次数小于 $n$ 的多项式，这与 $x$ 阶数定义矛盾），所以 $P(\frac{p}{q}) \ne 0$。又由于 $q^n P(\frac{p}{q})$ 是整数，因此 $$\left\lvert q^n P \left( \frac{p}{q} \right) \right\rvert \ge 1 \Rightarrow \left\lvert P \left( \frac{p}{q} \right) \right\rvert \ge \frac{1}{q^n}$$ 结合前面的结论，我们得到： $$\left\lvert x - \frac{p}{q} \right\rvert \ge \frac{1}{Mq^n}$$ 等号不可能取到，因为 $x$ 是无理数，即证。
在这一结论的启发下，我们可以构造一个除了有理数外全是超越数的零测集：
定义：对于无理数 $x$，若对任意的 $n \ge 1$ 都存在 $q, p \in \mathbb{Z}, q \gt 1$，使得： $$\left\lvert x - \frac{p}{q} \right\rvert \lt \frac{1}{q^n}$$ 则称 $x$ 是 Liouville 数
定理：Liouville 数都是超越数
证明：我们采用反证法，假设 Liouville 数 $x$ 是一个 $n$ 阶的代数数，则由 Liouville 定理，存在正整数 $M$ 使得 $$\left\lvert x - \frac{p}{q} \right\rvert \gt \frac{1}{Mq^n}$$ 对任意的 $p, q$ 成立。由于 $x$ 不是有理数，所以 $n \gt 1$，我们可以选择 $k$ 使得 $M2^n \lt 2^k$，此时对任意的 $q \gt 1$ 都有 $Mq^n \lt q^k$。由 Liouville 数的定义，存在 $q_0 \gt 1, q_0$ 使得： $$\left\lvert x - \frac{p_0}{q_0} \right\rvert \lt \frac{1}{q_0^k} \lt \frac{1}{Mq_0^n}$$ 矛盾。
最后，我们来考虑下面的集合： $$ \begin{aligned} G &= \bigcap\limits_{n = 3}^{\infty} G_n \\ G_n &= \bigcup\limits_{p = -\infty}^{+\infty} \bigcup\limits_{q = 2}^{\infty} (\frac{p}{q} - \frac{1}{q^n}, \frac{p}{q} + \frac{1}{q^n}) \end{aligned} $$ （之所以从 $n = 3$ 开始取交，主要是为了后面的方便，反正 $G_{n + 1} \subset G_n$，从哪一项开始取交都一样）则从定义上可以看出，$G_n$ 是开集，$\mathbb{Q} \subset G$ 且 $G \setminus \mathbb{Q}$ 就是所有的 Liouville 数，而 Liouville 数都是超越数，因此我们得到了一个包含有理数且除了有理数外都是超越数的集合，现在只剩下最后一个问题，$G$ 是否是零测的？
和之前不同，我们并不能直接用 $G_n$ 所有的区间作为 $G$ 的开覆盖来推出 $G$ 是零测的，因为 $G_n$ 中所有开区间的长度和是正无穷（光一层就是正无穷了）。实际上，对于熟悉测度的同学，我们知道 $m(G_n) = \infty, \forall n$ 确实成立，这是一个单调递减时测度的极限不等于极限的测度的例子。
我们转而使用可数个零测集的并依旧零测来说明 $G$ 是零测的，设 $G^{m} = G \cap (-m, m)$，则 $G = \bigcup\limits_{m} G^m$，因此我们只需要说明 $G^m$ 是零测的。对应的，如果我们记 $G^m_n = G_n \cap (-m, m)$，则有： $$ \begin{aligned} G^m \subset G^m_n &= \bigcup\limits_{q \gt 1} \bigcup\limits_{p} (\frac{p}{q} - \frac{1}{q^n}, \frac{p}{q} + \frac{1}{q^n}) \cap (-m, m) \\ &\subset \bigcup\limits_{q \gt 1} \bigcup\limits_{p = -mq}^{mq} (\frac{p}{q} - \frac{1}{q^n}, \frac{p}{q} + \frac{1}{q^n}) \end{aligned} $$ 将后者作为 $G^m$ 的开区间覆盖，则有： $$ \begin{aligned} m^*(G^m) &\le \sum\limits_{q \gt 1} \sum\limits_{p = -mq}^{mq}\left\lvert (\frac{p}{q} - \frac{1}{q^n}, \frac{p}{q} + \frac{1}{q^n}) \right\rvert \\ &= \sum\limits_{q \gt 1} \frac{2(2mq + 1)}{q^n} \le \sum\limits_{q \gt 1} \frac{2(2mq + q)}{q^n} \\ &\le (4m + 2) \sum\limits_{q \gt 1} \frac{1}{q^{n - 1}} \lt (4m + 2) \int_{1}^{\infty} \frac{1}{t^{n - 1}} dt\\ &= - \frac{4m + 2}{n - 2} \frac{1}{t^{n - 2}}|_1^{\infty} = \frac{4m + 2}{n - 2} \end{aligned} $$ 由于上式对任意的 $n$ 成立，所以 $m^*(G^m) = 0$，从而 $G^m$ 是零测集，因此 $G$ 也是零测集。
实际上我们还有更强的结论，对于任意的 $s \gt 0$，集合 $G$ 的 Hausdorff $s$-测度都是 $0$，也就是说这个集合从某种意义上来说是“零维”的。对此我们不再详细展开，如果之间对 Hausdorff 维数有所了解，这会是一个比较简单的结论。不知道 Hausdorff 维数是什么的同学大概也听说过所谓“分形”图形如 Koch snowflake，实数轴上的康托集也是一个很好的例子 —— 当我们把这些集合等比例放大一倍的时候，他们并不会像一般的 $d$ 维空间上的几何对象一样让自身的长度、面积或体积扩大为原来的 $2^d$ 倍，而是扩大为 $2^{d'}$ 倍，Hausdorff 维数就是用来严谨地刻画这个 $d'$ 到底是多少的，所以当我们看到说某个图形是“2.5D”的时候，这个 $0.5$ 并不一定只表示一个介于 $2$ 和 $3$ 的结果，而很有可能是有严谨的计算的。对这一部分感兴趣的话，可以参考 Stein 实分析的第七章。
这是我第一次尝试写这种类型的文章，也不知道观感如何。数学是一个圈地自萌的学科，想把一个数学爱好者的快乐传递给别人，并不是一件简单的事情。之所以数学会成为这么小众的爱好，主要是因为数学比较难。但数学的难度和我们对数学能力的锻炼肯定是成反比的，这就会形成一个恶性循环，越不锻炼，就越觉得难，就越畏难而不肯锻炼。所以学数学最重要的还是要有最初的那一点兴趣，它让我们在最开始觉得难的时候坚持下去。但怎么样让学生产生对数学学习的兴趣？有一次在浙大开组会的时候，我讲了一堆数学上的东西，老师直接打住叫我接着讲下面的，我于是补了一句：“那有兴趣的同学可以下来继续和我讨论”，得到了老师的吐槽：“你觉得你这么讲下面的人会有兴趣吗？”接着就分享了他在备课时的一些技巧。我觉得这句吐槽不无道理，好老师总是少数。所以我平常也会和不学数学的同学偶然聊一些数学知识，来观察他们对什么样的东西感兴趣。一个普遍的结论是具体的例子要比抽象的概念更加吸引人，这也是我写这篇文章的契机。
在具体的写作上，我时常感到束手束脚。这和我整理自己的笔记是有很大的区别的。当我在整理笔记的时候，我有充足的篇幅把所有我想要的东西都放进来、建立起严谨的“定义-定理”体系，而在写这种科普性质的文章时，我却不得不做一些删减，避免引入大量的背景知识。我最开始写这篇文章的时候，不知不觉就把整个测度理论都放到 Preliminary 里面了，但我发现这样写就和实变函数第一章没区别；接着我意识到我可能不需要全部的测度理论，我只需要在 Borel 集上建立测度就好了，但这样 Preliminary 还是很长；在读了 GTM 2 之后，我才突然醒悟到其实我并不关心 $0$ 以上的测度，我只需要“几乎可以忽略”的集合（实际上，可测集都是由 $G_{\delta}$ 集或者 $F_{\sigma}$ 集减/加一个零测集得到的，所以零测集确实是测度理论中唯一重要的东西），因此最终这篇文章的 Preliminary 被限制在了零测集上。
这篇文章的目的，当然不是作为严谨的 Baire 纲理论教材的一部分 —— 尽管我已经（尽可能地）让这篇文章 self-complete 了 —— 而是作为实变函数或者 Baire 纲理论的一个引子，如果有人在读完之后对实变函数或者 Baire 纲理论产生兴趣，那么我觉得这篇文章的目的也就达到了。如果有人能一路看到这里，不妨和我说说你们的感受吧。